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学习“矢量分析” 为什么我们那么费劲?

发布时间:2016-6-21 下午3:37

作者: 1460357814215

等级: 助理工程师

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矢量分析是学习《电磁波与电磁场》《电动力学》,必备的数学技能。电磁波和电磁场的理解,对我们学习射频的相关知识是根基。但是,很多朋友在碰到矢量计算的时候,都是百爪挠心。用语言去描述麦克斯韦方程组都神头鬼脸,来个方程解一下,或者推到个公式都抓瞎。

这是为什么呢?



原因1、学习路径长,激励反馈周期长

首先,我们完全理解和学会的路径比较长,也就是说,他本身就不是很容易学习的内容。体会到学习成果的激励反馈比较慢。

也是我们学习的最大障碍,我们可以连续一个小时很愉快的嗑瓜子,但是很难连续一个小时愉快的学习。

能磕一个小时无压力。我们换个规则,现在你只能磕,不能吃,瓜子仁留下来。磕一个小时,才把瓜子仁一次吃完。是不是有点无趣了?同样的时间,瓜子仁也没少吃,为什么感觉变了?

很多大事情,都是由一个个小事务重复或迭代而成,每个小事务中,包含了反馈和校正。反馈的周期越短,越为容易上手。磕瓜子容易,因为在两秒内就能得到反馈。而学习难,因为学习的反馈周期长。
一个典型的学习周期是这样:学习,思考,应用,校正。这个周期越短,学习就越轻松。合理的安排学习计划,缩短学习周期,同样的东西,可以学得更高效,轻松。

如果我们学习一个简单的东西,越直观的东西越容易学会,往往容易获得成就感,大家也愿意学,愿意用。比如说:老年人学习用电脑学了N长时间,也学不会,没法理解《我的电脑》、《注册表》、《控制面板》等等,很快就放弃使用电脑了,不愿意用电脑,不愿意去理解电脑。但是老年人、小朋友很容易学会使用。

我们去做“矢量分析”的时候,为什么困难呢?因为我们高数学习的内容在大一考完试的时候已经还给老师了。或者考试靠背题,背完就忘记了。

没有人帮我们分解,我们学习这门课,需要哪些数学知识。必备的数学知识,在学习的时候,并没有人告诉我们这些事有用的,或者未来可能做什么用。(而科学家在发明数学工具的时候,是有某些目的的发明的)。



当同学们发现,屮艸芔茻,当年高数就是糊弄过去的,你现在让我复习明白?就选择继续糊弄这门课了。。。。

根据这样的知识体系需求,按需学习,减少学习量,避免学习周期过长,而囫囵吞枣,或者半途而废。

根据大家的大多数人的情况,不建议选择不讲述数学概念的电磁波的书籍。例如这本:



原因2 早期的一些概念误导,你需要清理自己的大脑内存。



在高中数学时,两个字母相乘,中间放个点、放个X、什么都不放,是一个意思。这里其实对于大多数学生来说,理解没有什么障碍,但是在表达习惯上,带来了严重的困扰。
也就是在推导计算的过程中,有的朋友已经习惯了两个数相乘,中间放个点。但是此点、非彼点。写多了,就乱了,自己也糊涂了。到底是是矢量还是标量?到底是“点乘”还是“乘以”。
所以,我们需要在这方面做一些训练,在表达上面,需要区分“点乘”、“叉乘”、“标量相乘”,因为他们具有不同的物理含义,不同的数学计算方法。

原因3、课本中往往只生硬的介绍数据概念,不解释物理应用

这里比较典型的是“点乘”、“叉乘”的概念。

有些课本往往直接给你拍个公式,让你很茫然。

点积



叉积




这样的新概念扔给你,一定是一脸懵B。有毛用?我为什么要掌握它?

但是如果,先帮你回忆一下“做功”的计算过程:



W=FS cosθ 中S是位移,要与路程区别开来。例如,一个人从地面提起物体又放回原地,那么重力所做的功是多少呢?因为物体又放回原地了,物体位移的大小为零,所以W=0。

那么这里:位移是一个矢量、力也是一个矢量。我们以前计算的时候,其实是把这两个物理量先简化为标量,然后看夹角。但是我们现在升级了,现在要区分标量和矢量。这两个物理量,以及计算,直接就标示为:



力有方向、位移也有方向。但是两者综合出来的结果,功,没有方向,是一个标量。而且这个计算结果,是W=FS cosθ ,符合我们原来的认知;
实际对于物理量的理解:力量与位移一致的方向上才做功,上图中小聪做了不少无用功,小明相对省功。这一计算过程其实是:力量在位移方向的投影,这个cosθ可以看做是一个投影的过程。



上面的概念并不难理解,但是我为什么罗里吧嗦说半天呢?

启迪未知事物的探索,引导已知事物的深入了解

我们应该从我们已经掌握的知识点出发,去拓展新知识,形成完整的知识体系,形成更高层次的认知,而不是只是灌输一些新的概念,然后让学习者去记忆。

同样的“叉积”,我们也应该找一个形象的物理模型:

洛伦兹力

在电动力学里,洛伦兹力(Lorentz force)是运动于电磁场的带电粒子所受的力。根据洛伦兹力定律,洛伦兹力可以用方程,称为洛伦兹力方程,表达为




其中, F是洛伦兹力, q是带电粒子的电荷量,E是电场强度, v是带电粒子的速度, B是磁感应强度。

洛伦兹力定律是一个基本公理,不是从别的理论推导出来的定律,而是由多次重复完成的实验所得到的同样的结果。



感受到电场的作用,正电荷会朝着电场的方向加速;

根据上面的公式:



我们按照“叉积”的右手定则,四指先指向电流的方向,然后弯向磁场方向,就得到了力的方向。



有的朋友要提出了:“洛伦兹力不是左手定律么?”这里用“叉积”的时候,怎么又变成了右手定律?此处我们一定要像印度友人一样,分得清左右手。右手用于手抓饭,左手做其他事情。。。。



此处,我们用了“vXB”叉积的表达方式之后,我们可以忘记我们的左手。



再举个例子:梯度。

某书中的描述,又过于口语化表达,弄得读者很是糊涂:



首先什么是“最快”?为什么max值。

就是需要理解“点乘”的最大值,是两个矢量方向一致,这样上述投影才会是最大的。

假设你站在一个山上四处遥望,发现最陡的方向,就是梯度的方向。




其实,帮助大家更利于理解一些概念,需要用一些文科生思维,去描述和解释一些理科现象和公式,讲现象与公式结合起来,才能够形成这种深刻理解,或者说这种强力记忆点。

因为不是每个人都是数学天才,也不是每个人看到一个概念就能理解,理解一个概念就能够记住。需要我们通过具象思维,去解释和关联一些抽象思维。

否则就成了背题背概念,这种悲剧了。

原因4 书本与书本之间的用语、表达方式不统一

例如 矢量的表达方式,三本书,三种表达方式。








在《高等数学》同济大学数学教研室,这本书讲的是 ?向量,向量场;而在所有的电磁场、电动力学的课本里面,又使用 ? 矢量、矢量场。同时,在《高等数学》的课程中,并没有汉密尔顿算子的介绍。



这里需要说的,就是某些大学的课程体系不成熟。课程设置的先后顺序,教材选择的合理性,需要优化。

原因5 想象能力

矢量分析,说到底是需要三维想想能力的。

说个简单的,矢量的加减法,你是否能够在脑海里面复现,三维坐标。当解释梯度、散度、旋度的时候,你是否脑海里面浮现对应的场景?

其实矢量分析对想象能力、特别是空间想象能力还是有很高的要求的。

爱因斯坦凭借思想实验,完成了狭义相对论、广义相对论的。

火车思想实验:狭义相对论的精髓

  理解狭义相对论的关键,是同时性的相对性。爱因斯坦正是通过火车思想实验实现这一目的的。在火车思想实验中,爱因斯坦设想,有一列很长的火车,正在以一恒定的速度v沿着一直线轨道行驶。该火车的两端分别为A和B,其中间点为M。火车从A向B方向行进(即A为车尾,B为车头)。同时假定,在某一时刻t,与火车处于相同位置的铁轨也存在三点A’、B’和M’(三点分别对应于A、B和M)。A’和B’处分别有灯L1和L2,并且L1和L2在t时刻同时打开。那么,L1和L2的光线到达火车中间点M处(假定在t时刻,M点和M’点是重合的)的时间孰先孰后,还是同时到达?

电梯思想实验:广义相对论的拓展

  狭义相对论是以四维平直空间中的匀速直线运动为考察对象的,适用于一切惯性系,但无法说明非惯性系中的运动现象。为了克服狭义相对论的不足,将狭义相对论推广到具有加速度的非惯性系中,爱因斯坦运用了电梯思想实验为人们打开思路。

  在一理想的摩天大楼的顶上,有一正在下降的电梯。在该电梯内,有一物理学家在做实验。突然,电梯的钢缆断了,于是,电梯便处于自由落体状态向地面降落。在降落的过程中,电梯内的实验者,拿出一块手帕和一只表,然后松开双手。这两个物体会怎样运动呢?电梯外的观察者以地球作为参考系,他会发现:手帕、表和电梯连同它的天花板、四壁、地面以及里面的实验者等,都以同样的加速度下落。而电梯里面的实验者则会以电梯作为参考系,因为引力场在这一参考系之外而不被考虑,他会发现手帕和表由于不受到任何力的作用,而处于静止状态。在等效原理的帮助下,电梯思想实验告诉我们,引力场和加速度是相等的。广义相对论成功地拓展到了非惯性系中。

原因6 根因 社会导向

大多数希望把这些概念搞清楚,搞懂的目的,并不是未来我要用,或者说我在其中获得乐趣。在学校期间,很多同学没搞懂的原因是,不搞懂,不搞明白,一样是考试前突击背题。

也有一些在校的学生问我,为什么要懂这些,反正未来也用不着。

其实不然,如果你希望未来承载更高层次的工作,你的数理能力决定了你的高度。

假设你做嵌入式编程,你需要掌握C语言等基本技能,但是如果需要你实现一些信号处理的算法,你光会C语言、熟悉单片机,就明显不够了。需要你掌握更多的数理知识,矩阵运算、偏微分方程、等等数学知识的储备有显得尤为重要。

另外,具体就不知道高校里面对老师是否把学生教会了,这个点,是如何考察的?
来源:硬件十万个为什么

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1460357814215 编辑于 2016-6-21 下午4:31
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回复主题:学习“矢量分析” 为什么我们那么费劲?

发布时间:2016-6-22 上午8:32

作者:中国的游客

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有方向的量的概念根本来源于虚数的发现,复平面和极坐标描述了向量的加减乘除。
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